En appliquant Al-Kashi pour calculer un angle

Calculer la mesure d'un angle d'un triangle connaissant ses trois côtés.

L'objectif

Calculer la mesure d'un angle d'un triangle connaissant ses trois côtés.

Le principe

En inversant Al-Kashi : $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \, AB \cdot AC}$ .

La méthode

1
Je repère l'angle cherché et les trois côtés du triangle.
2
J'applique $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ où $a$ est le côté opposé à l'angle $A$ .
3
J'en déduis l'angle $A$ par lecture inverse du cosinus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 3$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Je repère l'angle cherché et les trois côtés du triangle.

On cherche $\widehat{BAC}$ . Les trois côtés sont $AB = 5$ , $AC = 3$ , $BC = 7$ .

Étape 2 —

J'applique

\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

où

a

est le côté opposé à l'angle

A

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

J'en déduis l'angle

A

par lecture inverse du cosinus.

$\cos(\widehat{BAC}) = -\frac{1}{2}$ , donc $\widehat{BAC} = 120°$ .

$\widehat{BAC} = 120°$

Application guidée

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 4$ , $AC = 6$ et $BC = 5$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 3$ , $AC = 4$ et $BC = 5$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$ , $AC = 8$ et $BC = 10$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Application autonome 3

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 7$ , $AC = 5$ et $BC = 8$ . Calculer $\widehat{BAC}$ à $0{,}1°$ près.

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