Comment utiliser la formule d'Al-Kashi ?

En appliquant Al-Kashi pour calculer un angle

Calculer la mesure d'un angle d'un triangle connaissant ses trois côtés.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 3$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

L'objectif

Calculer la mesure d'un angle d'un triangle connaissant ses trois côtés.

Le principe

En inversant Al-Kashi : $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \, AB \cdot AC}$ .

La méthode

1
Je repère l'angle cherché et les trois côtés du triangle.
2
J'applique $\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ où $a$ est le côté opposé à l'angle $A$ .
3
J'en déduis l'angle $A$ par lecture inverse du cosinus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 3$ et $BC = 7$ . Calculer $\widehat{BAC}$ .

Étape 1 —

Je repère l'angle cherché et les trois côtés du triangle.

On cherche $\widehat{BAC}$ . Les trois côtés sont $AB = 5$ , $AC = 3$ , $BC = 7$ .

Étape 2 —

J'applique

\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

où

a

est le côté opposé à l'angle

A

.

$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{25 + 9 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

J'en déduis l'angle

A

par lecture inverse du cosinus.

$\cos(\widehat{BAC}) = -\frac{1}{2}$ , donc $\widehat{BAC} = 120°$ .

$\widehat{BAC} = 120°$

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