Comment vérifier si des vecteurs… : En vérifiant que leurs coordonnées sont… — Tle spé maths | MetMat

Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Vérifier si $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ sont colinéaires.

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

Le principe

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$ ).

La méthode

1
Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).
2
Je cherche $\lambda$ à partir d'une coordonnée non nulle de $\vec{u}$ : $\lambda = \frac{v_i}{u_i}$ .
3
Je vérifie que ce même $\lambda$ convient pour toutes les autres coordonnées.
4
Je conclus : si $\lambda$ est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Vérifier si $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ sont colinéaires.

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).

Les coordonnées sont $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ .

Étape 2 —

Je cherche

\lambda

à partir d'une coordonnée non nulle de

\vec{u}

\lambda = \frac{v_i}{u_i}

À partir de la première coordonnée : $\lambda = \frac{-3}{2}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que ce même

\lambda

convient pour toutes les autres coordonnées.

Je vérifie la deuxième : $\lambda \times (-4) = \frac{-3}{2} \times (-4) = 6$ ✓.

Étape 4 —

Je conclus : si

\lambda

est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Le coefficient est le même pour toutes les coordonnées : $\vec{v} = -\frac{3}{2}\vec{u}$ , donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles (v⃗=λu⃗\vec{v} = \lambda\vec{u}v=λu pour un certain λ∈R\lambda \in \mathbb{R}λ∈R)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )