Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite de l'espace ?

En identifiant un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ , puis en écrivant le système $\{x = x_A + t\,u_x,\; y = y_A + t\,u_y,\; z = z_A + t\,u_z\}$ , $t \in \mathbb{R}$

Exprimer les coordonnées de tout point de la droite en fonction d'un paramètre réel $t$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, -1, 2)$ .

L'objectif

Exprimer les coordonnées de tout point de la droite en fonction d'un paramètre réel $t$ .

Le principe

Tout point $M$ de la droite s'écrit $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ , ce qui donne directement les équations paramétriques.

La méthode

1
Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant à la droite.
2
Identifier un vecteur directeur $\vec{u}(u_x, u_y, u_z)$ de la droite (non nul).
3
Écrire le système paramétrique : $\begin{cases} x = x_A + t\,u_x \\ y = y_A + t\,u_y \\ z = z_A + t\,u_z \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, -1, 2)$ .

Étape 1 —

Identifier un point

A(x_A, y_A, z_A)

appartenant à la droite.

On choisit le point $A(1, 2, 3)$ .

Étape 2 —

Identifier un vecteur directeur

\vec{u}(u_x, u_y, u_z)

de la droite (non nul).

Le vecteur directeur est $\vec{u}(1, -1, 2)$ .

Étape 3 —

Écrire le système paramétrique :

\begin{cases} x = x_A + t\,u_x \\ y = y_A + t\,u_y \\ z = z_A + t\,u_z \end{cases}

,

t \in \mathbb{R}

.

La représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$

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Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite de l'espace ?

En identifiant un point AAA et un vecteur directeur u⃗\vec{u}u, puis en écrivant le système {x=xA+t ux, y=yA+t uy, z=zA+t uz}\{x = x_A + t\,u_x,\; y = y_A + t\,u_y,\; z = z_A + t\,u_z\}{x=xA​+tux​,y=yA​+tuy​,z=zA​+tuz​}, t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ , puis en écrivant le système $\{x = x_A + t\,u_x,\; y = y_A + t\,u_y,\; z = z_A + t\,u_z\}$ , $t \in \mathbb{R}$