Comment déterminer l'intersection… : En résolvant le système de deux équations… — Tle spé maths | MetMat

Comment déterminer l'intersection de deux plans ?

En résolvant le système de deux équations cartésiennes à trois inconnues : exprimer deux variables en fonction de la troisième pour obtenir la représentation paramétrique de la droite d'intersection

Trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans non parallèles.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 3$ .

L'objectif

Trouver une représentation paramétrique de la droite d'intersection de deux plans non parallèles.

Le principe

Deux plans non parallèles se coupent selon une droite : en paramétrant librement l'une des variables (par exemple $z = t$ ), on exprime les deux autres en fonction de $t$ .

La méthode

1
Vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires), puis poser $z = t$ (ou choisir la variable la plus simple à paramétrer).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Substituer $z = t$ dans les deux équations cartésiennes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ .
3
Résoudre ce système par substitution ou combinaison linéaire pour exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$ .
4
Écrire la représentation paramétrique de la droite d'intersection sous la forme $\begin{cases} x = x_0 + a\,t \\ y = y_0 + b\,t \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer la droite d'intersection des plans $\mathcal{P}_1 : x + y + z = 1$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + z = 3$ .

Étape 1 —

Vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires), puis poser

z = t

(ou choisir la variable la plus simple à paramétrer).

Les normales $\vec{n}_1(1,1,1)$ et $\vec{n}_2(1,-1,1)$ ne sont pas colinéaires, donc les plans se coupent. On pose $z = t$ .

Étape 2 —

Substituer

z = t

dans les deux équations cartésiennes pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues

x

y

Le système devient : $\begin{cases} x + y = 1 - t \\ x - y = 3 - t \end{cases}$ .

Étape 3 —

Résoudre ce système par substitution ou combinaison linéaire pour exprimer

x

y

en fonction de

t

En additionnant : $2x = 4 - 2t \Rightarrow x = 2 - t$ . En soustrayant : $2y = -2 \Rightarrow y = -1$ .

Étape 4 —

Écrire la représentation paramétrique de la droite d'intersection sous la forme

\begin{cases} x = x_0 + a\,t \\ y = y_0 + b\,t \\ z = t \end{cases}

t \in \mathbb{R}

La droite d'intersection est $\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Vecteur directeur : $(-1, 0, 1)$ , point : $(2, -1, 0)$ .

$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = -1 \\ z = t \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$

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