Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

Déterminer si un point $M(x_0, y_0, z_0)$ appartient à une droite donnée par sa représentation paramétrique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $M(3, 0, 7)$ appartient-il à $d$ ?

L'objectif

Déterminer si un point $M(x_0, y_0, z_0)$ appartient à une droite donnée par sa représentation paramétrique.

Le principe

Un point appartient à la droite s'il existe un unique $t \in \mathbb{R}$ vérifiant simultanément les trois équations paramétriques.

La méthode

1
À partir de l'une des équations paramétriques (celle avec le coefficient le plus simple), résoudre pour trouver la valeur candidate de $t$ .
2
Substituer cette valeur de $t$ dans les deux autres équations paramétriques et vérifier si les égalités sont satisfaites.
3
Conclure : si les trois équations sont satisfaites pour ce même $t$ , le point appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$ . Le point $M(3, 0, 7)$ appartient-il à $d$ ?

Étape 1 —

À partir de l'une des équations paramétriques (celle avec le coefficient le plus simple), résoudre pour trouver la valeur candidate de

t

.

De $x = 1 + t = 3$ , on tire $t = 2$ .

Étape 2 —

Substituer cette valeur de

t

dans les deux autres équations paramétriques et vérifier si les égalités sont satisfaites.

Pour $t = 2$ : $y = 2 - 2 = 0$ ✓ et $z = 3 + 4 = 7$ ✓.

Étape 3 —

Conclure : si les trois équations sont satisfaites pour ce même

t

, le point appartient à la droite ; sinon, il n'y appartient pas.

Les trois équations sont vérifiées pour $t = 2$ , donc $M(3, 0, 7)$ appartient à $d$ .

$M(3, 0, 7) \in d$ (pour $t = 2$ )

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment vérifier si un point appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

En résolvant le système paramétrique pour trouver ttt à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant le système paramétrique pour trouver $t$ à partir d'une coordonnée, puis en vérifiant la cohérence pour les autres coordonnées