Comment étudier une suite… : En cherchant la relation entre I_ n+1 et… — Tle spé maths | MetMat

Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?

En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite

Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite $(I_n)$ définie par des intégrales dépendant du paramètre $n$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $I_n = \int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x$ . Calculer $I_0$ , établir la relation $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ , puis étudier la suite $(I_n)$ .

L'objectif

Établir les propriétés (monotonie, limite, expression) d'une suite $(I_n)$ définie par des intégrales dépendant du paramètre $n$ .

Le principe

On exploite la formule d'IPP pour relier $I_{n+1}$ à $I_n$ , et on utilise la croissance de l'intégrale pour encadrer $I_n$ et déterminer sa limite.

La méthode

1
Calculer $I_0$ (ou $I_1$ ) directement comme valeur initiale de la suite.
2
Établir la relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$ (par IPP, en posant $u$ et $v'$ adaptés, ou par linéarité).
Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?Voir
3
Étudier la monotonie de $(I_n)$ : montrer que $I_{n+1} - I_n$ ou $\dfrac{I_{n+1}}{I_n}$ garde un signe constant, en utilisant un encadrement de l'intégrande.
4
Trouver la limite de $(I_n)$ : encadrer $I_n$ par des termes dont la limite est connue, ou utiliser le théorème des gendarmes.
Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $I_n = \int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x$ . Calculer $I_0$ , établir la relation $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ , puis étudier la suite $(I_n)$ .

Étape 1 —

Calculer

I_0

(ou

I_1

) directement comme valeur initiale de la suite.

$I_0 = \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$ .

Étape 2 —

Établir la relation de récurrence entre

I_{n+1}

I_n

(par IPP, en posant

u

v'

adaptés, ou par linéarité).

IPP avec $u = x^{n+1}$ , $v' = e^x$ : $I_{n+1} = [x^{n+1} e^x]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^n e^x\,\mathrm{d}x = e - (n+1)I_n$ .

Étape 3 —

Étudier la monotonie de

(I_n)

: montrer que

I_{n+1} - I_n

\dfrac{I_{n+1}}{I_n}

garde un signe constant, en utilisant un encadrement de l'intégrande.

Sur $[0,1]$ , $0 \leq x^n e^x \leq e$ donc $0 \leq I_n \leq e$ . De plus $x^{n+1} \leq x^n$ sur $[0,1]$ donc la suite $(I_n)$ est décroissante.

Étape 4 —

Trouver la limite de

(I_n)

: encadrer

I_n

par des termes dont la limite est connue, ou utiliser le théorème des gendarmes.

$(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$ , donc converge. En encadrant : $0 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n e\,\mathrm{d}x = \dfrac{e}{n+1} \to 0$ . Par gendarmes, $I_n \to 0$ .

$I_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier une suite d'intégrales InI_nIn​ vérifiant une relation de récurrence ?

En cherchant la relation entre In+1I_{n+1}In+1​ et InI_nIn​ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de (In)(I_n)(In​) par encadrement pour trouver la limite

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier une suite d'intégrales $I_n$ vérifiant une relation de récurrence ?

En cherchant la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ par intégration par parties, puis en étudiant la monotonie de $(I_n)$ par encadrement pour trouver la limite