Comment calculer une intégrale… : En choisissant u (à dériver, souvent… — Tle spé maths | MetMat

Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$

Calculer $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$ lorsqu'aucune primitive directe n'est disponible, en décomposant intelligemment le produit.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x$ .

L'objectif

Calculer $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$ lorsqu'aucune primitive directe n'est disponible, en décomposant intelligemment le produit.

Le principe

La formule d'IPP découle de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ , d'où $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier $u$ et $v'$ dans l'intégrale (règle ILATE : Inverse trig, $\ln$ , Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle — choisir $u$ le plus à gauche).
2
Calculer $u'$ (dérivée de $u$ ) et $v$ (une primitive de $v'$ ).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
3
Appliquer la formule : $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
4
Calculer le crochet $[u\,v]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$ , puis calculer l'intégrale restante $\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
5
Conclure en combinant les résultats et en simplifiant.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Identifier

u

v'

dans l'intégrale (règle ILATE : Inverse trig,

\ln

, Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle — choisir

u

le plus à gauche).

On pose $u = x$ (polynôme) et $v' = e^x$ (exponentielle).

Étape 2 —

Calculer

u'

(dérivée de

u

) et

v

(une primitive de

v'

On calcule $u' = 1$ et $v = e^x$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x

$\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = [x\,e^x]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,\mathrm{d}x$ .

Étape 4 —

Calculer le crochet

[u\,v]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)

, puis calculer l'intégrale restante

\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x

$[x\,e^x]_0^1 = 1 \cdot e - 0 = e$ ; $\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = [e^x]_0^1 = e - 1$ .

Étape 5 —

Conclure en combinant les résultats et en simplifiant.

$\int_0^1 x\,e^x\,\mathrm{d}x = e - (e-1) = 1$ .

$1$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

En choisissant uuu (à dériver, souvent polynôme ou ln⁡\lnln) et v′v'v′ (à intégrer, souvent exp⁡\expexp, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos), puis en appliquant ∫abu v′=[u v]ab−∫abu′ v\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v

Pour comprendre, fais des exercices !

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$