Comment esquisser l'allure d'une courbe à partir des tableaux de $f$, $f'$, $f''$ ?

Domaine : $\mathbb{R}$. $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$. $f''(x) = -e^{-x} - (1-x)(-e^{-x}) = e^{-x}(-1+1-x) = -xe^{-x}$. Limites : $\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = 0$ (croissances comparées), $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty$.

$f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0 \Leftrightarrow x = 1$. $f'(x) > 0$ sur $]-\infty, 1[$ et $f'(x) < 0$ sur $]1, +\infty[$. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty, 1]$ et décroissante sur $[1, +\infty[$.

$f''(x) = -xe^{-x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$. $f''(x) > 0$ sur $]-\infty, 0[$ (car $-x > 0$) et $f''(x) < 0$ sur $]0, +\infty[$.

$f$ est convexe sur $]-\infty, 0]$ et concave sur $[0, +\infty[$.

Maximum en $x = 1$ : $f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$, point $(1, \frac{1}{e})$ avec tangente horizontale. Point d'inflexion en $x = 0$ : $f(0) = 0$, point $(0, 0)$, tangente : $f'(0) = 1$, équation $y = x$.

Esquisse : la courbe part de $-\infty$ (pour $x \to -\infty$), croît de façon convexe jusqu'au point d'inflexion $(0, 0)$ (tangente $y = x$), continue à croître de façon concave jusqu'au maximum $(1, \frac{1}{e})$, puis décroît vers $0$ en restant concave et au-dessus de l'axe des abscisses.