Comment calculer la dérivée d'une… : En identifiant clairement u et v, en… — Tle spé maths | MetMat

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée $v \circ u$ ?

En identifiant clairement $u$ et $v$ , en calculant $u'$ et $v'$ , puis en appliquant $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$

Calculer la dérivée d'une fonction composée de la forme $v(u(x))$ , en particulier pour $e^{u(x)}$ , $\ln(u(x))$ , $[u(x)]^n$ , $\sqrt{u(x)}$ et $\sin(u(x))$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$ .

L'objectif

Calculer la dérivée d'une fonction composée de la forme $v(u(x))$ , en particulier pour $e^{u(x)}$ , $\ln(u(x))$ , $[u(x)]^n$ , $\sqrt{u(x)}$ et $\sin(u(x))$ .

Le principe

Si $f = v \circ u$ , alors $f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$ . On retient les cas particuliers : $(e^u)' = u' e^u$ , $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ , $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , $(\sin u)' = u' \cos u$ .

La méthode

1
Identifier la fonction intérieure $u(x)$ et la fonction extérieure $v$ de sorte que $f(x) = v(u(x))$ .
2
Calculer $u'(x)$ , la dérivée de la fonction intérieure.
3
Calculer $v'$ , la dérivée de la fonction extérieure, en utilisant les formules de référence : $(e^t)' = e^t$ , $(\ln t)' = \dfrac{1}{t}$ , $(t^n)' = nt^{n-1}$ , $(\sqrt{t})' = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}$ , $(\sin t)' = \cos t$ .
4
Appliquer la formule : $f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$ , c'est-à-dire évaluer $v'$ en $u(x)$ puis multiplier par $u'(x)$ .
5
Simplifier l'expression obtenue si possible.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction intérieure

u(x)

et la fonction extérieure

v

de sorte que

f(x) = v(u(x))

On pose $u(x) = 3x + 1$ (intérieur) et $v(t) = e^t$ (extérieur), de sorte que $f(x) = e^{u(x)}$ .

Étape 2 —

Calculer

u'(x)

, la dérivée de la fonction intérieure.

$u'(x) = 3$ .

Étape 3 —

Calculer

v'

, la dérivée de la fonction extérieure, en utilisant les formules de référence :

(e^t)' = e^t

(\ln t)' = \dfrac{1}{t}

(t^n)' = nt^{n-1}

(\sqrt{t})' = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}

(\sin t)' = \cos t

$v'(t) = e^t$ , donc $v'(u(x)) = e^{u(x)} = e^{3x+1}$ .

Étape 4 —

Appliquer la formule :

f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)

, c'est-à-dire évaluer

v'

u(x)

puis multiplier par

u'(x)

$f'(x) = v'(u(x)) \times u'(x) = e^{3x+1} \times 3$ .

Étape 5 —

Simplifier l'expression obtenue si possible.

$f'(x) = 3e^{3x+1}$ .

$f'(x) = 3e^{3x+1}$

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Comment calculer la dérivée d'une fonction composée v∘uv \circ uv∘u ?

En identifiant clairement uuu et vvv, en calculant u′u'u′ et v′v'v′, puis en appliquant (v∘u)′=(v′∘u)×u′(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'(v∘u)′=(v′∘u)×u′

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée $v \circ u$ ?

En identifiant clairement $u$ et $v$ , en calculant $u'$ et $v'$ , puis en appliquant $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$