Comment choisir la méthode de… : En représentant la situation par un arbre… — Tle spé maths | MetMat

Comment choisir la méthode de dénombrement adaptée à une situation (liste, arrangement, combinaison) ?

En représentant la situation par un arbre et en identifiant si l'ordre compte et si les répétitions sont autorisées

Identifier la bonne formule de dénombrement en visualisant la situation par un arbre.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On crée un code de $2$ chiffres (de $0$ à $9$ ). Les répétitions sont-elles autorisées ? L'ordre compte-il ? En déduire le nombre de codes possibles.

L'objectif

Identifier la bonne formule de dénombrement en visualisant la situation par un arbre.

Le principe

Un arbre des possibles permet de repérer si l'ordre intervient et si une valeur peut être répétée, ce qui détermine la formule à appliquer.

La méthode

1
Je dessine l'arbre en détaillant les premiers choix : chaque branche représente une possibilité à chaque étape.
2
Je vérifie si l'ordre compte : deux branches donnant les mêmes éléments dans un ordre différent correspondent-elles à des résultats distincts ?
3
Je vérifie si les répétitions sont autorisées : un même élément peut-il apparaître plusieurs fois dans un même chemin de l'arbre ?
4
Je conclus : si ordre compte et répétitions autorisées → $n^k$ ; si ordre compte et pas de répétition → arrangements ; si ordre ne compte pas et pas de répétition → combinaisons $\binom{n}{k}$ .
Comment calculer le nombre de k-uplets (listes ordonnées avec ou sans répétition) d'un ensemble à n éléments ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On crée un code de $2$ chiffres (de $0$ à $9$ ). Les répétitions sont-elles autorisées ? L'ordre compte-il ? En déduire le nombre de codes possibles.

Étape 1 —

Je dessine l'arbre en détaillant les premiers choix : chaque branche représente une possibilité à chaque étape.

L'arbre a $10$ branches au premier niveau (chiffres $0$ - $9$ ), puis $10$ branches au deuxième niveau.

Étape 2 —

Je vérifie si l'ordre compte : deux branches donnant les mêmes éléments dans un ordre différent correspondent-elles à des résultats distincts ?

Le code $12$ est différent du code $21$ : oui, l'ordre compte.

Étape 3 —

Je vérifie si les répétitions sont autorisées : un même élément peut-il apparaître plusieurs fois dans un même chemin de l'arbre ?

Le code $11$ est un code valide : oui, les répétitions sont autorisées.

Étape 4 —

Je conclus : si ordre compte et répétitions autorisées →

n^k

; si ordre compte et pas de répétition → arrangements ; si ordre ne compte pas et pas de répétition → combinaisons

\binom{n}{k}

Ordre compte + répétitions autorisées → $n^k = 10^2 = 100$ codes possibles.

Il y a $100$ codes de $2$ chiffres possibles.

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