Comment calculer P(X ≤ k), P(X ≥… : En calculant la somme des termes P(X = i)… — Tle spé maths | MetMat

Comment calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ , $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(k \leq X \leq k')$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)$ . Calculer $P(X \leq 2)$ .

L'objectif

Calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ ou $P(k \leq X \leq k')$ pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.

Le principe

La probabilité cumulée s'obtient par $P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ , et on utilise la complémentarité $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ pour réduire le nombre de termes à calculer.

La méthode

1
Identifier l'intervalle de valeurs concerné par l'événement (par exemple $\{0, 1, \ldots, k\}$ pour $X \leq k$ ).
2
Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), calculer directement chaque $P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$ et additionner.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
3
Si l'intervalle est «grand», passer par le complémentaire : $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ , ou $P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k-1)$ , de façon à sommer le moins de termes possible.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
4
Donner la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)$ . Calculer $P(X \leq 2)$ .

Étape 1 —

Identifier l'intervalle de valeurs concerné par l'événement (par exemple

\{0, 1, \ldots, k\}

pour

X \leq k

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ . L'intervalle $\{0, 1, 2\}$ compte 3 termes.

Étape 2 —

Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), calculer directement chaque

P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

et additionner.

$P(X=0) = (0{,}6)^5 = 0{,}07776$ ; $P(X=1) = 5 \times 0{,}4 \times (0{,}6)^4 = 0{,}2592$ ; $P(X=2) = 10 \times (0{,}4)^2 \times (0{,}6)^3 = 0{,}3456$ .

Étape 3 —

Si l'intervalle est «grand», passer par le complémentaire :

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

, ou

P(k \leq X \leq k') = P(X \leq k') - P(X \leq k-1)

, de façon à sommer le moins de termes possible.

L'intervalle est petit, donc on additionne directement les trois termes.

Étape 4 —

Donner la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).

$P(X \leq 2) = 0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}68256$ .

$P(X \leq 2) \approx 0{,}683$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k), P(X≥k)P(X \geq k)P(X≥k), P(k≤X≤k′)P(k \leq X \leq k')P(k≤X≤k′) pour une loi binomiale ?

En calculant la somme des termes P(X=i)P(X = i)P(X=i) pour les valeurs iii concernées, en utilisant éventuellement P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)P(X≥k)=1−P(X≤k−1)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k)$ , $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?

En calculant la somme des termes $P(X = i)$ pour les valeurs $i$ concernées, en utilisant éventuellement $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$