Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?

En calculant itérativement $A^2 = A \cdot A$ , $A^3 = A^2 \cdot A$ , etc., par multiplication matricielle successive

Calculer $A^n$ pour de petites valeurs de $n$ par multiplications matricielles successives.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $A^2$ et $A^3$ pour $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer $A^n$ pour de petites valeurs de $n$ par multiplications matricielles successives.

Le principe

On calcule $A^2 = A \cdot A$ , puis $A^3 = A^2 \cdot A$ , etc., en appliquant à chaque étape la règle ligne × colonne.

La méthode

1
Calculer $A^2 = A \cdot A$ par la règle ligne × colonne.
2
Pour obtenir $A^k$ ( $k \geq 3$ ), calculer $A^k = A^{k-1} \cdot A$ en réutilisant le résultat précédent.
3
Chercher un éventuel pattern dans les coefficients de $A^k$ pour conjecturer une formule générale pour $A^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $A^2$ et $A^3$ pour $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Calculer

A^2 = A \cdot A

par la règle ligne × colonne.

$A^2 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Pour obtenir

A^k

(

k \geq 3

), calculer

A^k = A^{k-1} \cdot A

en réutilisant le résultat précédent.

$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Chercher un éventuel pattern dans les coefficients de

A^k

pour conjecturer une formule générale pour

A^n

.

Pattern observé : $A^n = \begin{pmatrix}1 & n \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

$A^2 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ , $A^3 = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

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Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?

En calculant itérativement A2=A⋅AA^2 = A \cdot AA2=A⋅A, A3=A2⋅AA^3 = A^2 \cdot AA3=A2⋅A, etc., par multiplication matricielle successive

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant itérativement $A^2 = A \cdot A$ , $A^3 = A^2 \cdot A$ , etc., par multiplication matricielle successive