Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?

En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de $A^n$ à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices $2 \times 2$ ) : si $A^2 = pA + qI$ , alors $A^n$ vérifie la même relation

Approfondissement

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Exprimer $A^n$ pour tout $n$ à l'aide d'une relation de récurrence issue du polynôme caractéristique.

Le principe

Par le théorème de Cayley-Hamilton, toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique ; pour une matrice $2 \times 2$ d'équation caractéristique $\lambda^2 - p\lambda - q = 0$ , on a $A^2 = pA + qI$ , et en multipliant par $A^{n-2}$ : $A^n = pA^{n-1} + qA^{n-2}$ .

La méthode

1
Calculer le polynôme caractéristique de $A$ : $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\lambda + \det(A)$ , où $\mathrm{tr}(A) = a + d$ et $\det(A) = ad - bc$ .
2
Par Cayley-Hamilton, $A^2 = \mathrm{tr}(A) \cdot A - \det(A) \cdot I$ . En notant $p = \mathrm{tr}(A)$ et $q = -\det(A)$ , on obtient la relation $A^n = p A^{n-1} + q A^{n-2}$ .
3
Poser $a_n$ un coefficient générique de $A^n$ (par exemple $(A^n)_{11}$ ). Il vérifie la même récurrence $a_n = p \, a_{n-1} + q \, a_{n-2}$ avec conditions initiales $a_0$ (coefficient de $I$ ) et $a_1$ (coefficient de $A$ ).
4
Résoudre la suite récurrente linéaire d'ordre 2 (équation caractéristique $r^2 = pr + q$ , trouver $r_1, r_2$ , écrire $a_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$ ), puis en déduire chaque coefficient de $A^n$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de AnA^nAn à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2×22 \times 22×2) : si A2=pA+qIA^2 = pA + qIA2=pA+qI, alors AnA^nAn vérifie la même relation

Exemple corrigé

En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de $A^n$ à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices $2 \times 2$ ) : si $A^2 = pA + qI$ , alors $A^n$ vérifie la même relation