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Graphes et matrices : Calcul matriciel — cours et méthodes maths… | MetMat
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Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes
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Graphes et matrices : Calcul matriciel
Opérations sur les matrices, inverse, puissances, et applications aux graphes et systèmes linéaires.
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0/8 maîtrisées
1
Maîtriser
Comment modéliser une situation par un graphe et en extraire des informations ?
En identifiant les sommets (entités/états) et les arêtes (relations), en calculant les degrés de chaque sommet et en vérifiant la connexité
Nouveau
En construisant la matrice d'adjacence
A
A
A
:
A
i
j
=
1
A_{ij} = 1
A
ij
=
1
si les sommets
i
i
i
et
j
j
j
sont reliés,
0
0
0
sinon
Nouveau
Comment effectuer les opérations de base sur les matrices ?
En additionnant terme à terme deux matrices de même taille :
(
A
+
B
)
i
j
=
A
i
j
+
B
i
j
(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}
(
A
+
B
)
ij
=
A
ij
+
B
ij
Nouveau
En calculant le produit
A
B
AB
A
B
par la règle « ligne
×
\times
×
colonne » :
(
A
B
)
i
j
=
∑
k
A
i
k
B
k
j
(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}
(
A
B
)
ij
=
∑
k
A
ik
B
k
j
Nouveau
Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?
En utilisant la formule explicite pour une matrice
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
: si
A
=
(
a
b
c
d
)
A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
A
=
(
a
c
b
d
)
et
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
≠
0
\det(A) = ad-bc \neq 0
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
=
0
, alors
A
−
1
=
1
a
d
−
b
c
(
d
−
b
−
c
a
)
A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
A
−
1
=
a
d
−
b
c
1
(
d
−
c
−
b
a
)
Nouveau
En résolvant
A
X
=
I
3
AX = I_3
A
X
=
I
3
par la méthode du pivot de Gauss-Jordan (opérations élémentaires sur les lignes) pour une matrice
3
×
3
3 \times 3
3
×
3
Nouveau
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?
En calculant itérativement
A
2
=
A
⋅
A
A^2 = A \cdot A
A
2
=
A
⋅
A
,
A
3
=
A
2
⋅
A
A^3 = A^2 \cdot A
A
3
=
A
2
⋅
A
, etc., par multiplication matricielle successive
Nouveau
En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de
A
n
A^n
A
n
à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices
2
×
2
2 \times 2
2
×
2
) : si
A
2
=
p
A
+
q
I
A^2 = pA + qI
A
2
=
p
A
+
q
I
, alors
A
n
A^n
A
n
vérifie la même relation
Nouveau
Comment résoudre un système linéaire à l'aide du calcul matriciel ?
Nouveau
Reconnaître
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.
Résoudre
Maîtrise encore 2 méthodes pour débloquer cette étape.