Comment calculer l'inverse d'une… : En utilisant la formule explicite pour… — maths expertes | MetMat

Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

En utilisant la formule explicite pour une matrice $2 \times 2$ : si $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $\det(A) = ad-bc \neq 0$ , alors $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

Calculer l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ en appliquant la formule explicite.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ en appliquant la formule explicite.

Le principe

Une matrice $2 \times 2$ est inversible si et seulement si son déterminant $\det(A) = ad - bc$ est non nul ; l'inverse est alors $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Calculer $\det(A) = ad - bc$ . Si $\det(A) = 0$ , la matrice n'est pas inversible (s'arrêter).
2
Écrire $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$ en échangeant les coefficients diagonaux et en changeant le signe des antidiagonaux.
3
Vérifier en calculant $A \cdot A^{-1}$ : on doit obtenir $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Calculer

\det(A) = ad - bc

. Si

\det(A) = 0

, la matrice n'est pas inversible (s'arrêter).

$\det(A) = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0$ : $A$ est inversible.

Étape 2 —

Écrire

A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}

en échangeant les coefficients diagonaux et en changeant le signe des antidiagonaux.

$A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Vérifier en calculant

A \cdot A^{-1}

: on doit obtenir

I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}

$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ . ✓

$A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$

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