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Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

En résolvant $AX = I_3$ par la méthode du pivot de Gauss-Jordan (opérations élémentaires sur les lignes) pour une matrice $3 \times 3$

Calculer l'inverse d'une matrice $3 \times 3$ par la méthode de Gauss-Jordan.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice $3 \times 3$ par la méthode de Gauss-Jordan.

Le principe

On forme la matrice augmentée $(A | I_3)$ et on applique des opérations élémentaires sur les lignes jusqu'à transformer le bloc gauche en $I_3$ ; le bloc droit devient alors $A^{-1}$ .

La méthode

1
Former la matrice augmentée $(A | I_3)$ de taille $3 \times 6$ .
2
Par opérations élémentaires sur les lignes (échange, multiplication par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une ligne à une autre), mettre le bloc gauche sous forme échelonnée réduite (1 sur la diagonale, 0 partout ailleurs).
3
Si une ligne du bloc gauche devient entièrement nulle, la matrice n'est pas inversible ; sinon, lire $A^{-1}$ dans le bloc droit.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Former la matrice augmentée

(A | I_3)

de taille

3 \times 6

Matrice augmentée : $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{array}\right)$ .

Étape 2 —

Par opérations élémentaires sur les lignes (échange, multiplication par un scalaire non nul, ajout d'un multiple d'une ligne à une autre), mettre le bloc gauche sous forme échelonnée réduite (1 sur la diagonale, 0 partout ailleurs).

$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&-2&0&-1&0&1\end{array}\right)$ . Puis $L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&0&4&-1&2&1\end{array}\right)$ .

Étape 3 —

Si une ligne du bloc gauche devient entièrement nulle, la matrice n'est pas inversible ; sinon, lire

A^{-1}

dans le bloc droit.

$L_3 \leftarrow \frac{1}{4}L_3$ : $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&1&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&0&1&-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{array}\right)$ . Puis remontée : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_3$ , $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ puis $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ . On obtient $A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}$ .

$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}$

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Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

En résolvant AX=I3AX = I_3AX=I3​ par la méthode du pivot de Gauss-Jordan (opérations élémentaires sur les lignes) pour une matrice 3×33 \times 33×3

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $AX = I_3$ par la méthode du pivot de Gauss-Jordan (opérations élémentaires sur les lignes) pour une matrice $3 \times 3$