Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

En utilisant la formule explicite pour une matrice $2 \times 2$ : si $A = $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$$ et $\det(A) = ad-bc \neq 0$ , alors $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} $$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$$

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ en appliquant la formule explicite.

Le principe

Une matrice $2 \times 2$ est inversible si et seulement si son déterminant $\det(A) = ad - bc$ est non nul ; l'inverse est alors $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} $$\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$$ .

La méthode

1
Calculer $\det(A) = ad - bc$ . Si $\det(A) = 0$ , la matrice n'est pas inversible (s'arrêter).
2
Écrire $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} $$\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$$ en échangeant les coefficients diagonaux et en changeant le signe des antidiagonaux.
3
Vérifier en calculant $A \cdot A^{-1}$ : on doit obtenir $I_2 = $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant la formule explicite pour une matrice 2×22 \times 22×2 : si A = $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ et det⁡(A)=ad−bc≠0\det(A) = ad-bc \neq 0det(A)=ad−bc=0, alors A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} $$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

Exemple corrigé

En utilisant la formule explicite pour une matrice $2 \times 2$ : si $A = $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$$ et $\det(A) = ad-bc \neq 0$ , alors $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} $$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$$