Comment effectuer les opérations de base sur les matrices ?

En calculant le produit $AB$ par la règle « ligne $\times$ colonne » : $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$

L'objectif

Multiplier deux matrices en appliquant la règle ligne × colonne.

Le principe

Le produit $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; le coefficient $(AB)_{ij}$ est le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

La méthode

1
Vérifier la compatibilité : si $A$ est $m \times p$ et $B$ est $p \times n$ , alors $AB$ est $m \times n$ .
2
Pour chaque coefficient $(i,j)$ de $AB$ , calculer $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik} B_{kj}$ (produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ et de la colonne $j$ de $B$ ).
3
Attention : en général $AB \neq BA$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant le produit ABABAB par la règle « ligne ×\times× colonne » : (AB)ij=∑kAikBkj(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}(AB)ij​=∑k​Aik​Bkj​

Exemple corrigé

En calculant le produit $AB$ par la règle « ligne $\times$ colonne » : $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$