Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $z = 3 + 4i$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ via les formules avec le conjugué.

La méthode

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Identifier le nombre complexe $z$ et calculer son conjugué $\bar{z}$ en changeant le signe de la partie imaginaire.
2
Appliquer la propriété adaptée : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ pour extraire la partie réelle, ou $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ pour la partie imaginaire.
3
Si l'expression comporte un produit ou une somme, utiliser $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\,\bar{z_2}$ et $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ pour distribuer la conjugaison.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $z = 3 + 4i$ . Calculer $\mathrm{Re}(z)$ et $\mathrm{Im}(z)$ via les formules avec le conjugué.

1

$\bar{z} = 3 - 4i$ .

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$z + \bar{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 = 2\,\mathrm{Re}(z)$ , donc $\mathrm{Re}(z) = 3$ . $z - \bar{z} = 8i = 2i\,\mathrm{Im}(z)$ , donc $\mathrm{Im}(z) = 4$ .

3

Aucune distribution supplémentaire n'est nécessaire ici.

$\mathrm{Re}(z) = 3$ , $\mathrm{Im}(z) = 4$

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Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En utilisant les propriétés du conjugué : z+zˉ=2 Re(z)z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)z+zˉ=2Re(z) et z−zˉ=2i Im(z)z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)z−zˉ=2iIm(z)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En utilisant les propriétés du conjugué : $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)$