En divisant successivement $n$ par les nombres premiers $2, 3, 5, 7, \ldots$ jusqu'à obtenir un quotient égal à $1$

Écrire $n$ sous la forme $p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ par divisions successives.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — $n = 12$

L'objectif

Écrire $n$ sous la forme $p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}$ par divisions successives.

Le principe

Tout entier $n \geq 2$ se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers (théorème fondamental de l'arithmétique).

La méthode

1
Commencer avec le plus petit premier $p=2$ : diviser $n$ par $2$ autant de fois que possible, en notant la puissance obtenue.
2
Passer au premier suivant ( $p=3, 5, 7, \ldots$ ) et répéter : diviser le quotient courant par $p$ autant de fois que possible.
3
Continuer jusqu'à ce que le quotient soit $1$ , en arrêtant au plus lorsque $p > \sqrt{n}$ (si le quotient restant est $> 1$ , c'est un facteur premier).
4
Écrire la décomposition obtenue sous forme de produit de puissances de premiers.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — $n = 12$

Étape 1 —

Commencer avec le plus petit premier

p=2

: diviser

n

par

2

autant de fois que possible, en notant la puissance obtenue.

$12 \div 2 = 6$ , $6 \div 2 = 3$ , $3 \div 2$ n'est pas entier. Facteur $2^2$ .

Étape 2 —

Passer au premier suivant (

p=3, 5, 7, \ldots

) et répéter : diviser le quotient courant par

p

autant de fois que possible.

Quotient courant $= 3$ . $3 \div 3 = 1$ . Facteur $3^1$ .

Étape 3 —

Continuer jusqu'à ce que le quotient soit

1

, en arrêtant au plus lorsque

p > \sqrt{n}

(si le quotient restant est

> 1

, c'est un facteur premier).

Quotient $= 1$ , on s'arrête.

Étape 4 —

Écrire la décomposition obtenue sous forme de produit de puissances de premiers.

$12 = 2^2 \times 3$ .

Application guidée

Exemple 2 — $n = 60$

Application autonome 1

Exemple 3 — $n = 360$

Application autonome 2

Exemple 4 — $n = 100$

Application autonome 3

Exemple 5 — $n = 1001$

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