Comment appliquer le théorème de Gauss ?

En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si $p$ premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ )

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — $p=7$ , $ab=35$

La méthode

1
Vérifier que $p$ est premier et qu'on dispose de $p \mid ab$ .
2
Si $p \nmid a$ , alors $\mathrm{pgcd}(p,a)=1$ (car $p$ est premier), donc par Gauss $p \mid b$ .
3
Conclure : $p \mid a$ ou $p \mid b$ (disjonction).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — $p=7$ , $ab=35$

1

$p=7$ est premier et $7 \mid 35 = 5 \times 7$ , donc $7 \mid 5 \times 7$ .

2

$7 \nmid 5$ , donc $\mathrm{pgcd}(7,5)=1$ , d'où par Gauss $7 \mid 7$ .

3

Conclusion : $7 \mid 7$ , ce qui est vrai. Ici $p$ divise le second facteur.

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Comment appliquer le théorème de Gauss ?

En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si ppp premier et p∣abp \mid abp∣ab, alors p∣ap \mid ap∣a ou p∣bp \mid bp∣b)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si $p$ premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ )