En vérifiant que $\mathrm{pgcd}(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ , puis en concluant $a \mid c$

Conclure que $a \mid c$ en exploitant la coprimarité de $a$ et $b$ et la divisibilité $a \mid bc$ .

L'objectif

Conclure que $a \mid c$ en exploitant la coprimarité de $a$ et $b$ et la divisibilité $a \mid bc$ .

Le principe

Théorème de Gauss : si $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$ et $a \mid bc$ , alors $a \mid c$ .

La méthode

1
Identifier les entiers $a$ , $b$ , $c$ et vérifier (ou établir) que $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$ .
Comment calculer le PGCD de deux entiers ?Voir
2
Vérifier que $a \mid bc$ (souvent donné ou découlant du contexte).
3
Appliquer le théorème de Gauss pour conclure $a \mid c$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Cas simple avec $a=7$

Étape 1 —

Identifier les entiers

a

b

c

et vérifier (ou établir) que

\mathrm{pgcd}(a,b)=1

On a $a=7$ , $b=3$ , $c=?$ et on sait que $7 \mid 21k$ pour un entier $k$ . Calculer $\mathrm{pgcd}(7,3)=1$ car $7$ est premier et ne divise pas $3$ .

Étape 2 —

Vérifier que

a \mid bc

(souvent donné ou découlant du contexte).

On dispose de $7 \mid 3c$ (par hypothèse du problème).

Étape 3 —

Appliquer le théorème de Gauss pour conclure

a \mid c

Par le théorème de Gauss, $\mathrm{pgcd}(7,3)=1$ et $7 \mid 3c$ implique $7 \mid c$ .

Application guidée

Exemple 2 — Avec $a=5$ , $b=6$

Application autonome 1

Exemple 3 — Montrer que $p \mid n$ sachant $p \mid 4n$ et $p=3$

Application autonome 2

Exemple 4 — Avec $a=13$ , $b=5$ , $c=n^2$

Application autonome 3

Montrer que si $11 \mid 6n$ , alors $11 \mid n$ (avec $n \in \mathbb{Z}$ ).

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En vérifiant que pgcd(a,b)=1\mathrm{pgcd}(a, b) = 1pgcd(a,b)=1 et a∣bca \mid bca∣bc, puis en concluant a∣ca \mid ca∣c

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $\mathrm{pgcd}(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ , puis en concluant $a \mid c$