Comment appliquer le théorème de Gauss ?

En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si $p$ premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ )

L'objectif

Déduire qu'un nombre premier $p$ divise l'un des facteurs d'un produit qu'il divise.

Le principe

Si $p$ est premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ (corollaire immédiat du théorème de Gauss).

La méthode

1
Vérifier que $p$ est premier et qu'on dispose de $p \mid ab$ .
2
Si $p \nmid a$ , alors $\mathrm{pgcd}(p,a)=1$ (car $p$ est premier), donc par Gauss $p \mid b$ .
3
Conclure : $p \mid a$ ou $p \mid b$ (disjonction).

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si ppp premier et p∣abp \mid abp∣ab, alors p∣ap \mid ap∣a ou p∣bp \mid bp∣b)