Comment appliquer le théorème de Gauss ?

En vérifiant que $\mathrm{pgcd}(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ , puis en concluant $a \mid c$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Exemple 1 — Cas simple avec $a=7$

La méthode

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Identifier les entiers $a$ , $b$ , $c$ et vérifier (ou établir) que $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$ .
Comment calculer le PGCD de deux entiers ?Voir
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Vérifier que $a \mid bc$ (souvent donné ou découlant du contexte).
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Appliquer le théorème de Gauss pour conclure $a \mid c$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Cas simple avec $a=7$

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On a $a=7$ , $b=3$ , $c=?$ et on sait que $7 \mid 21k$ pour un entier $k$ . Calculer $\mathrm{pgcd}(7,3)=1$ car $7$ est premier et ne divise pas $3$ .

2

On dispose de $7 \mid 3c$ (par hypothèse du problème).

3

Par le théorème de Gauss, $\mathrm{pgcd}(7,3)=1$ et $7 \mid 3c$ implique $7 \mid c$ .

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Comment appliquer le théorème de Gauss ?

En vérifiant que pgcd(a,b)=1\mathrm{pgcd}(a, b) = 1pgcd(a,b)=1 et a∣bca \mid bca∣bc, puis en concluant a∣ca \mid ca∣c

Pour comprendre, passons aux exercices.

En vérifiant que $\mathrm{pgcd}(a, b) = 1$ et $a \mid bc$ , puis en concluant $a \mid c$