Comment déterminer la limite éventuelle d'une suite récurrente convergente ?

$(u_n)$ est croissante et majorée donc converge vers un réel $\ell$. La fonction $f \colon x \mapsto \sqrt{x+2}$ est continue sur $[0, 2]$ qui contient $\ell$ (car $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$).

Par passage à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ et continuité de $f$ en $\ell$, on obtient $\ell = \sqrt{\ell + 2}$.

L'équation $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ avec $\ell \geq 0$ donne $\ell^2 = \ell + 2$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, d'où $\ell = 2$ ou $\ell = -1$. Comme $\ell \geq 0$, on garde $\ell = 2$.

$\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.