Comment montrer qu'une suite… : En montrant par récurrence que u_n reste… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une suite récurrente est bornée ?

En montrant par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable par $f$

Démontrer qu'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ est bornée en piégeant ses termes dans un intervalle stable par $f$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

L'objectif

Démontrer qu'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ est bornée en piégeant ses termes dans un intervalle stable par $f$ .

Le principe

Si $u_0 \in I$ et si $I$ est stable par $f$ , alors par récurrence immédiate $u_n \in I$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; si de plus $I$ est borné, alors $(u_n)$ est bornée.

La méthode

1
Je détermine un intervalle borné $I = [a, b]$ stable par $f$ contenant $u_0$ (souvent en étudiant les variations de $f$ ).
Comment montrer qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ ?Voir
2
Je vérifie l'initialisation : $u_0 \in I$ .
3
Hérédité : je suppose $u_n \in I$ ; comme $I$ est stable par $f$ , $u_{n+1} = f(u_n) \in I$ .
4
Je conclus par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $a \leq u_n \leq b$ , donc $(u_n)$ est bornée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée.

Étape 1 —

Je détermine un intervalle borné

I = [a, b]

stable par

f

contenant

u_0

(souvent en étudiant les variations de

f

Posons $f(x) = \sqrt{x+2}$ . Sur $I = [0, 2]$ , $f$ est croissante, $f(0) = \sqrt{2}$ et $f(2) = 2$ , donc $f([0, 2]) = [\sqrt{2}, 2] \subset [0, 2]$ : $I$ est stable par $f$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'initialisation :

u_0 \in I

$u_0 = 0 \in [0, 2]$ : initialisation vraie.

Étape 3 —

Hérédité : je suppose

u_n \in I

; comme

I

est stable par

f

u_{n+1} = f(u_n) \in I

Si $u_n \in [0, 2]$ , alors $u_{n+1} = f(u_n) \in f([0, 2]) \subset [0, 2]$ .

Étape 4 —

Je conclus par récurrence que pour tout

n \in \mathbb{N}

a \leq u_n \leq b

, donc

(u_n)

est bornée.

Donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \leq u_n \leq 2$ : $(u_n)$ est bornée.

Pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment montrer qu'une suite récurrente est bornée ?

En montrant par récurrence que unu_nun​ reste dans un intervalle stable par fff

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant par récurrence que $u_n$ reste dans un intervalle stable par $f$