Comment déterminer un sous-espace propre associé à une valeur propre ?

On a vu que $3 \in \mathrm{Sp}(A)$.

On pose $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et on écrit $(A - 3 I_2) X = 0$ : $\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$.

Le système se réduit à $-2x + 2y = 0$, soit $y = x$.

$E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$, de dimension $1$.