Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant $A^n = P D^n P^{-1}$

Exprimer $A^n$ explicitement pour tout $n \in \mathbb{N}$ lorsque $A$ est diagonalisable.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $n \in \mathbb{N}$ .

L'objectif

Exprimer $A^n$ explicitement pour tout $n \in \mathbb{N}$ lorsque $A$ est diagonalisable.

Le principe

Si $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, par récurrence $A^n = P D^n P^{-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , et $D^n$ se calcule en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ .

La méthode

1
Je diagonalise $A$ : je trouve $P$ inversible et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ avec $A = P D P^{-1}$ .
Comment diagonaliser explicitement une matrice ($D = P^{-1} A P$) ?Voir
2
Je calcule $D^n = \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \dots, \lambda_n^n)$ .
3
Je calcule $P^{-1}$ et j'effectue le produit $A^n = P D^n P^{-1}$ .
4
Je conclus en donnant les coefficients de $A^n$ en fonction de $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $A^n$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ et $n \in \mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je diagonalise

A

: je trouve

P

inversible et

D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)

avec

A = P D P^{-1}

.

On a vu $A = P D P^{-1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

D^n = \mathrm{diag}(\lambda_1^n, \dots, \lambda_n^n)

.

$D^n = \begin{pmatrix} (-1)^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule

P^{-1}

et j'effectue le produit

A^n = P D^n P^{-1}

.

$P^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , donc $A^n = P D^n P^{-1} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} (-1)^n + 3^n & -(-1)^n + 3^n \\ -(-1)^n + 3^n & (-1)^n + 3^n \end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant les coefficients de

A^n

en fonction de

n

.

$A^n = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$ .

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Comment calculer une puissance n-ième d'une matrice diagonalisable ?

En écrivant An=PDnP−1A^n = P D^n P^{-1}An=PDnP−1

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $A^n = P D^n P^{-1}$