Comment diagonaliser… : En formant P avec les vecteurs propres… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment diagonaliser explicitement une matrice ( $D = P^{-1} A P$ ) ?

En formant $P$ avec les vecteurs propres en colonnes et $D$ diagonale avec les valeurs propres associées

Trouver explicitement $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $D = P^{-1} A P$ (autrement dit $A = P D P^{-1}$ ).

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Diagonaliser $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Trouver explicitement $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $D = P^{-1} A P$ (autrement dit $A = P D P^{-1}$ ).

Le principe

Si $A$ est diagonalisable, on choisit une base de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres de $A$ ; en plaçant ces vecteurs en colonnes de $P$ et les valeurs propres correspondantes (dans le même ordre) sur la diagonale de $D$ , on obtient $A P = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je détermine $\mathrm{Sp}(A)$ et, pour chaque $\lambda_i$ , une base de $E_{\lambda_i}(A)$ , puis je vérifie que $A$ est diagonalisable (somme des dimensions $= n$ ).
Comment montrer qu'une matrice est diagonalisable ?Voir
2
Je place les vecteurs propres en colonnes de $P$ (en respectant un ordre choisi) et les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de $D$ dans le même ordre.
3
Je conclus $A = P D P^{-1}$ , soit $D = P^{-1} A P$ (on vérifie éventuellement par $A P = P D$ pour s'assurer du résultat).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Diagonaliser $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je détermine

\mathrm{Sp}(A)

et, pour chaque

\lambda_i

, une base de

E_{\lambda_i}(A)

, puis je vérifie que

A

est diagonalisable (somme des dimensions

= n

On a $\mathrm{Sp}(A) = \{-1, 3\}$ , $E_{-1}(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right)$ , $E_3(A) = \mathrm{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)$ , somme des dimensions $= 2$ .

Étape 2 —

Je place les vecteurs propres en colonnes de

P

(en respectant un ordre choisi) et les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de

D

dans le même ordre.

On pose $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je conclus

A = P D P^{-1}

, soit

D = P^{-1} A P

(on vérifie éventuellement par

A P = P D

pour s'assurer du résultat).

On vérifie $A P = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = P D$ , donc $D = P^{-1} A P$ .

$A = P D P^{-1}$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = \mathrm{diag}(-1, 3)$ .

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Comment diagonaliser explicitement une matrice (D=P−1APD = P^{-1} A PD=P−1AP) ?

En formant PPP avec les vecteurs propres en colonnes et DDD diagonale avec les valeurs propres associées

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment diagonaliser explicitement une matrice ( $D = P^{-1} A P$ ) ?

En formant $P$ avec les vecteurs propres en colonnes et $D$ diagonale avec les valeurs propres associées