Comment déterminer la loi de… : En passant par la fonction de… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer la loi de $g(X)$ ( $X^2$ , $\exp(X)$ , $-\frac{1}{\lambda}\ln(1-Y)$ ) par changement de variable ?

En passant par la fonction de répartition $F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité

Déterminer la loi (fonction de répartition puis densité) d'une variable $Y = g(X)$ obtenue comme image d'une variable à densité $X$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $Y \sim \mathcal{U}([0, 1[)$ et $\lambda > 0$ . Montrer que $X = -\frac{1}{\lambda}\ln(1 - Y)$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ .

L'objectif

Déterminer la loi (fonction de répartition puis densité) d'une variable $Y = g(X)$ obtenue comme image d'une variable à densité $X$ .

Le principe

La méthode universelle de transfert consiste à écrire $F_Y(x) = P(g(X) \le x)$ , à reformuler l'événement $\{g(X) \le x\}$ en un événement sur $X$ , puis à dériver $F_Y$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ pour obtenir $f_Y(x) = F_Y'(x)$ .

La méthode

1
Je détermine le support de $Y = g(X)$ à partir de celui de $X$ et de la fonction $g$ ; cela me donne les intervalles où $F_Y(x) = 0$ ou $F_Y(x) = 1$ .
2
Sur le reste de $\mathbb{R}$ , j'écris $F_Y(x) = P(g(X) \le x)$ et je résous l'inéquation $g(X) \le x$ pour la traduire en un événement portant sur $X$ (intervalle, union…).
3
J'exprime $F_Y(x)$ à l'aide de $F_X$ (souvent par $F_X(\cdot) - F_X(\cdot)$ si $g$ n'est pas monotone).
4
Je vérifie que $F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points, puis je pose $f_Y(x) = F_Y'(x)$ aux points de dérivabilité et $f_Y(x) = 0$ ailleurs. Je reconnais éventuellement la loi de $Y$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $Y \sim \mathcal{U}([0, 1[)$ et $\lambda > 0$ . Montrer que $X = -\frac{1}{\lambda}\ln(1 - Y)$ suit la loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ .

Étape 1 —

Je détermine le support de

Y = g(X)

à partir de celui de

X

et de la fonction

g

; cela me donne les intervalles où

F_Y(x) = 0

F_Y(x) = 1

Comme $Y \in [0, 1[$ , $1 - Y \in ]0, 1]$ donc $\ln(1-Y) \le 0$ et $X = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-Y) \ge 0$ : le support de $X$ est $[0, +\infty[$ , donc $F_X(x) = 0$ pour $x < 0$ .

Étape 2 —

Sur le reste de

\mathbb{R}

, j'écris

F_Y(x) = P(g(X) \le x)

et je résous l'inéquation

g(X) \le x

pour la traduire en un événement portant sur

X

(intervalle, union…).

Pour $x \ge 0$ : $F_X(x) = P(X \le x) = P\!\left(-\tfrac{1}{\lambda}\ln(1-Y) \le x\right) = P\!\left(\ln(1-Y) \ge -\lambda x\right) = P(1 - Y \ge e^{-\lambda x}) = P(Y \le 1 - e^{-\lambda x})$ .

Étape 3 —

J'exprime

F_Y(x)

à l'aide de

F_X

(souvent par

F_X(\cdot) - F_X(\cdot)

g

n'est pas monotone).

Comme $Y \sim \mathcal{U}([0, 1[)$ , $F_Y(t) = t$ pour $t \in [0, 1[$ . Or pour $x \ge 0$ , $1 - e^{-\lambda x} \in [0, 1[$ , donc $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

F_Y

est continue sur

\mathbb{R}

\mathcal{C}^1

sauf en un nombre fini de points, puis je pose

f_Y(x) = F_Y'(x)

aux points de dérivabilité et

f_Y(x) = 0

ailleurs. Je reconnais éventuellement la loi de

Y

$F_X$ est continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable sauf en $0$ , et pour $x > 0$ : $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ . On reconnaît $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ .

$X = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-Y) \sim \mathcal{E}(\lambda)$ .

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En passant par la fonction de répartition $F_{g(X)}(x) = P(g(X) \le x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité