Comment calculer les dérivées… : En dérivant successivement et en… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 2 et appliquer le théorème de Schwarz ?

En dérivant successivement et en appliquant ∂²₁,₂f = ∂²₂,₁f pour f ∈ C²

Obtenir les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et constater leur égalité croisée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + xy^3$ et vérifier le théorème de Schwarz.

L'objectif

Obtenir les quatre dérivées partielles d'ordre 2 et constater leur égalité croisée.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ , le théorème de Schwarz assure que pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ , $\partial^2_{1,2} f(x,y) = \partial^2_{2,1} f(x,y)$ .

La méthode

1
Je calcule les deux dérivées partielles d'ordre 1 $\partial_1 f(x,y)$ et $\partial_2 f(x,y)$ .
Comment calculer les dérivées partielles d'ordre 1 d'une fonction f(x,y) ?Voir
2
Je dérive $\partial_1 f$ par rapport à $x$ pour obtenir $\partial^2_{1,1} f$ , puis par rapport à $y$ pour obtenir $\partial^2_{1,2} f$ .
3
Je dérive $\partial_2 f$ par rapport à $x$ pour obtenir $\partial^2_{2,1} f$ , puis par rapport à $y$ pour obtenir $\partial^2_{2,2} f$ .
4
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ et je conclus, par le théorème de Schwarz, que $\partial^2_{1,2} f = \partial^2_{2,1} f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de $f \colon (x,y) \mapsto x^2 y + xy^3$ et vérifier le théorème de Schwarz.

Étape 1 —

Je calcule les deux dérivées partielles d'ordre 1

\partial_1 f(x,y)

\partial_2 f(x,y)

On a $\partial_1 f(x,y) = 2xy + y^3$ et $\partial_2 f(x,y) = x^2 + 3xy^2$ .

Étape 2 —

Je dérive

\partial_1 f

par rapport à

x

pour obtenir

\partial^2_{1,1} f

, puis par rapport à

y

pour obtenir

\partial^2_{1,2} f

$\partial^2_{1,1} f(x,y) = 2y$ et $\partial^2_{1,2} f(x,y) = 2x + 3y^2$ .

Étape 3 —

Je dérive

\partial_2 f

par rapport à

x

pour obtenir

\partial^2_{2,1} f

, puis par rapport à

y

pour obtenir

\partial^2_{2,2} f

$\partial^2_{2,1} f(x,y) = 2x + 3y^2$ et $\partial^2_{2,2} f(x,y) = 6xy$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

\mathbb{R}^2

et je conclus, par le théorème de Schwarz, que

\partial^2_{1,2} f = \partial^2_{2,1} f

$f$ est polynomiale donc de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ . Par le théorème de Schwarz, on vérifie bien $\partial^2_{1,2} f = \partial^2_{2,1} f = 2x + 3y^2$ .

$\partial^2_{1,1} f = 2y$ , $\partial^2_{1,2} f = \partial^2_{2,1} f = 2x + 3y^2$ , $\partial^2_{2,2} f = 6xy$ .

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