Comment montrer que deux… : En montrant qu'elles représentent le… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En montrant qu'elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes

Établir la similitude de deux matrices en montrant qu'elles correspondent au même endomorphisme dans deux bases distinctes du même espace.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (matrice de $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ ) et $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ . Sachant que $f(1,1) = (2, 0)$ et $f(1,-1) = (0, 2)$ , montrer que $A$ et $B$ ne sont pas semblables (on testera la base $\mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1))$ et on identifiera la vraie matrice).

L'objectif

Établir la similitude de deux matrices en montrant qu'elles correspondent au même endomorphisme dans deux bases distinctes du même espace.

Le principe

Deux matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans des bases différentes ; alors $B = P^{-1} A P$ avec $P$ la matrice de passage entre ces bases.

La méthode

1
J'identifie un endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ dont $A$ est la matrice dans une base $\mathcal{B}$ .
2
J'introduis une seconde base $\mathcal{B}'$ de $E$ (souvent suggérée par l'énoncé ou la structure de $f$ ) et je calcule la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$ .
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?Voir
3
Je vérifie que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = B$ , c'est-à-dire que $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme.
4
Je conclus : il existe $P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$ , donc $A$ et $B$ sont semblables.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie un endomorphisme

f \in \mathcal{L}(E)

dont

A

est la matrice dans une base

\mathcal{B}

On considère $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tel que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = A$ avec $\mathcal{B}$ canonique.

Étape 2 —

J'introduis une seconde base

\mathcal{B}'

E

(souvent suggérée par l'énoncé ou la structure de

f

) et je calcule la matrice de

f

dans

\mathcal{B}'

Posons $\mathcal{B}' = ((1,1),(1,-1))$ . On calcule $f(1,1) = (2,0) = 1 \cdot (1,1) + 1 \cdot (1,-1)$ et $f(1,-1) = (0,2) = 1 \cdot (1,1) + (-1) \cdot (1,-1)$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = B

, c'est-à-dire que

A

B

représentent le même endomorphisme.

Donc $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \neq B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ : $B$ n'est pas la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}'$ .

Étape 4 —

Je conclus : il existe

P = P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}

inversible telle que

B = P^{-1} A P

, donc

A

B

sont semblables.

Le déterminant est un invariant de similitude : $\det(A) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$ et $\det(B) = 2 \cdot (-2) - 0 = -4$ . Comme $\det(A) = -2 \neq -4 = \det(B)$ , $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

$A$ et $B$ ne sont pas semblables ( $\det(A) = -2 \neq -4 = \det(B)$ ).

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.