Comment étudier une suite… : En résolvant r^2=ar+b et en combinant… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ?

En résolvant $r^2=ar+b$ et en combinant les deux racines réelles

Obtenir l'expression explicite d'une suite vérifiant $u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n$ (équation caractéristique à solutions réelles).

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0, u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n$ . Déterminer $u_n$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite d'une suite vérifiant $u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n$ (équation caractéristique à solutions réelles).

Le principe

Les solutions de la récurrence linéaire d'ordre 2 forment un espace vectoriel de dimension 2 ; si l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ , toute solution s'écrit $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ . Si $r_1=r_2=r$ , alors $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .

La méthode

1
J'écris l'équation caractéristique $r^2-ar-b=0$ et je calcule son discriminant $\Delta=a^2+4b$ .
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?Voir
2
Si $\Delta>0$ : deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ et $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ . Si $\Delta=0$ : racine double $r$ et $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .
3
Je détermine $\lambda, \mu$ en utilisant les conditions initiales $u_0$ et $u_1$ (système linéaire 2x2).
4
J'écris l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0, u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n$ . Déterminer $u_n$ .

Étape 1 —

J'écris l'équation caractéristique

r^2-ar-b=0

et je calcule son discriminant

\Delta=a^2+4b

L'équation caractéristique est $r^2=r+6 \Leftrightarrow r^2-r-6=0$ , $\Delta=1+24=25>0$ .

Étape 2 —

\Delta>0

: deux racines réelles distinctes

r_1, r_2

u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n

. Si

\Delta=0

: racine double

r

u_n=(\lambda+\mu n)r^n

Deux racines réelles $r_1=\frac{1+5}{2}=3$ et $r_2=\frac{1-5}{2}=-2$ , donc $u_n=\lambda \cdot 3^n+\mu \cdot (-2)^n$ .

Étape 3 —

Je détermine

\lambda, \mu

en utilisant les conditions initiales

u_0

u_1

(système linéaire 2x2).

Conditions initiales : $\lambda+\mu=0$ et $3\lambda-2\mu=1$ , d'où $\lambda=\frac{1}{5}$ et $\mu=-\frac{1}{5}$ .

Étape 4 —

J'écris l'expression explicite de

u_n

en fonction de

n

Je conclus $u_n=\frac{1}{5}\left(3^n-(-2)^n\right)$ .

$u_n=\frac{3^n-(-2)^n}{5}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ?

En résolvant r2=ar+br^2=ar+br2=ar+b et en combinant les deux racines réelles

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $r^2=ar+b$ et en combinant les deux racines réelles