Comment calculer la limite… : En appliquant les règles d'opérations… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer la limite d'une suite par opérations algébriques ?

En appliquant les règles d'opérations sur les limites et en levant les formes indéterminées

Déterminer la limite d'une suite obtenue comme combinaison algébrique de suites dont les limites sont connues.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite obtenue comme combinaison algébrique de suites dont les limites sont connues.

Le principe

Si $u_n\to \ell$ et $v_n\to \ell'$ avec $(\ell,\ell')$ compatibles, alors $u_n+v_n\to \ell+\ell'$ , $u_n v_n\to \ell\ell'$ et $\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq 0$ ) ; dans les cas indéterminés, on factorise par le terme dominant ou on utilise l'expression conjuguée.

La méthode

1
Je calcule séparément les limites des blocs simples $u_n$ , $v_n$ , etc. en utilisant les limites de référence ( $\frac{1}{n}\to 0$ , $q^n\to 0$ si $|q|<1$ , etc.).
2
J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) pour combiner ces limites.
3
Si une forme indéterminée apparaît, je factorise par le terme prépondérant ou je multiplie par la quantité conjuguée pour la lever.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
4
Je conclus en donnant la limite finale de la suite.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$ .

Étape 1 —

Je calcule séparément les limites des blocs simples

u_n

v_n

, etc. en utilisant les limites de référence (

\frac{1}{n}\to 0

q^n\to 0

|q|<1

, etc.).

Les blocs $3n^2$ , $2n$ , $-1$ , $n^2$ , $5$ tendent vers $\pm\infty$ ou une constante ; le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ .

Étape 2 —

J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) pour combiner ces limites.

Le quotient conduit à la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ .

Étape 3 —

Si une forme indéterminée apparaît, je factorise par le terme prépondérant ou je multiplie par la quantité conjuguée pour la lever.

Je factorise par $n^2$ : $u_n = \frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{5}{n^2})} = \frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la limite finale de la suite.

Par opérations, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$ , donc $u_n\to 3$ .

$\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$ .

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