Comment étudier une série… : En sommant u_ n+1 -u_n et en exploitant… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment étudier une série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n)$ ?

En sommant $u_{n+1}-u_n$ et en exploitant la limite éventuelle de $(u_n)$

Déterminer la nature et éventuellement la somme d'une série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ en étudiant la suite $(u_n)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier $\sum_{n\geq 1} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ et calculer sa somme.

L'objectif

Déterminer la nature et éventuellement la somme d'une série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ en étudiant la suite $(u_n)$ .

Le principe

Somme partielle télescopique : $\sum_{k=n_0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_{n_0}$ . La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge ssi $(u_n)$ admet une limite finie $\ell$ , et alors $\sum_{k=n_0}^{+\infty}(u_{k+1}-u_k)=\ell-u_{n_0}$ .

La méthode

1
On identifie la série comme $\sum (u_{n+1}-u_n)$ (éventuellement après reformulation).
2
On écrit la somme partielle $S_N=\sum_{k=n_0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_{n_0}$ par télescopage.
3
On étudie la limite de $(u_n)$ : si $u_n\to \ell$ finie, la série converge et sa somme vaut $\ell-u_{n_0}$ ; sinon elle diverge.
4
On conclut sur la nature et, le cas échéant, la somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier $\sum_{n\geq 1} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ et calculer sa somme.

Étape 1 —

On identifie la série comme

\sum (u_{n+1}-u_n)

(éventuellement après reformulation).

Je pose $u_n=1/n$ : le terme général s'écrit $u_n-u_{n+1}=-(u_{n+1}-u_n)$ .

Étape 2 —

On écrit la somme partielle

S_N=\sum_{k=n_0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_{n_0}

par télescopage.

$S_N=\sum_{k=1}^{N}(u_k-u_{k+1})=u_1-u_{N+1}=1-\dfrac{1}{N+1}$ .

Étape 3 —

On étudie la limite de

(u_n)

: si

u_n\to \ell

finie, la série converge et sa somme vaut

\ell-u_{n_0}

; sinon elle diverge.

$u_n=1/n\to 0$ , donc $S_N\to 1$ .

Étape 4 —

On conclut sur la nature et, le cas échéant, la somme.

La série converge et $\sum_{n=1}^{+\infty}(1/n-1/(n+1))=1$ .

La série converge et sa somme vaut $1$ .

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Comment étudier une série télescopique ∑(un+1−un)\sum(u_{n+1}-u_n)∑(un+1​−un​) ?

En sommant un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​ et en exploitant la limite éventuelle de (un)(u_n)(un​)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier une série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n)$ ?

En sommant $u_{n+1}-u_n$ et en exploitant la limite éventuelle de $(u_n)$