Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?

En comparant à $1/n^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ )

Déterminer la nature d'une série en la ramenant à une série de Riemann de paramètre $\alpha$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^{3/2}}$ .

L'objectif

Déterminer la nature d'une série en la ramenant à une série de Riemann de paramètre $\alpha$ .

Le principe

La série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$ . Pour $\alpha\leq 1$ elle diverge, en particulier la série harmonique ( $\alpha=1$ ) diverge.

La méthode

1
On identifie un comportement asymptotique de $u_n$ de la forme $1/n^\alpha$ (équivalent, majoration ou minoration).
2
On précise la valeur de $\alpha$ obtenue.
3
On applique le critère : $\sum 1/n^\alpha$ converge ssi $\alpha>1$ .
4
On conclut sur la nature de $\sum u_n$ via la comparaison/équivalence utilisée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^{3/2}}$ .

Étape 1 —

On identifie un comportement asymptotique de

u_n

de la forme

1/n^\alpha

(équivalent, majoration ou minoration).

$u_n=1/n^\alpha$ directement.

Étape 2 —

On précise la valeur de

\alpha

obtenue.

$\alpha=3/2$ .

Étape 3 —

On applique le critère :

\sum 1/n^\alpha

converge ssi

\alpha>1

.

Comme $\alpha=3/2>1$ , la série de Riemann converge.

Étape 4 —

On conclut sur la nature de

\sum u_n

via la comparaison/équivalence utilisée.

Donc $\sum 1/n^{3/2}$ converge.

$\sum_{n\geq 1} 1/n^{3/2}$ converge.

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Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?

En comparant à 1/nα1/n^\alpha1/nα (CV ssi α>1\alpha>1α>1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En comparant à $1/n^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ )