Comment calculer la somme d'une série géométrique et de ses dérivées ?

En appliquant $\sum q^k=1/(1-q)$ , $\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2$ , etc. pour $|q|<1$

Calculer explicitement la somme d'une série géométrique ou de ses deux premières dérivées lorsque $|q|<1$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k$ .

L'objectif

Calculer explicitement la somme d'une série géométrique ou de ses deux premières dérivées lorsque $|q|<1$ .

Le principe

Pour $|q|<1$ : $\sum_{k=0}^{+\infty} q^k=\dfrac{1}{1-q}$ , $\sum_{k=1}^{+\infty} k\,q^{k-1}=\dfrac{1}{(1-q)^2}$ , $\sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1)q^{k-2}=\dfrac{2}{(1-q)^3}$ .

La méthode

1
On identifie la raison $q$ et on vérifie $|q|<1$ pour assurer la convergence.
2
On reconnaît la forme : simple $q^k$ , dérivée première $k q^{k-1}$ , ou dérivée seconde $k(k-1) q^{k-2}$ .
3
On applique la formule correspondante et on simplifie, en ajustant éventuellement les bornes ou l'indice.
4
On conclut par la valeur explicite de la somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k$ .

Étape 1 —

On identifie la raison

q

et on vérifie

|q|<1

pour assurer la convergence.

$q=1/3$ , $|q|<1$ , la série converge.

Étape 2 —

On reconnaît la forme : simple

q^k

, dérivée première

k q^{k-1}

, ou dérivée seconde

k(k-1) q^{k-2}

.

Forme simple $\sum q^k$ .

Étape 3 —

On applique la formule correspondante et on simplifie, en ajustant éventuellement les bornes ou l'indice.

$S=\dfrac{1}{1-1/3}=\dfrac{1}{2/3}=\dfrac{3}{2}$ .

Étape 4 —

On conclut par la valeur explicite de la somme.

Donc $S=3/2$ .

$S=\dfrac{3}{2}$

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Comment calculer la somme d'une série géométrique et de ses dérivées ?

En appliquant ∑qk=1/(1−q)\sum q^k=1/(1-q)∑qk=1/(1−q), ∑kqk−1=1/(1−q)2\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2∑kqk−1=1/(1−q)2, etc. pour ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\sum q^k=1/(1-q)$ , $\sum k q^{k-1}=1/(1-q)^2$ , etc. pour $|q|<1$