Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?

En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$

Calculer explicitement la somme d'une série faisant intervenir $x^k/k!$ à l'aide de l'exponentielle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2^k}{k!}$ .

L'objectif

Calculer explicitement la somme d'une série faisant intervenir $x^k/k!$ à l'aide de l'exponentielle.

Le principe

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , la série $\sum x^k/k!$ converge et $\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!}=e^x$ (résultat admis ou démontré via Taylor).

La méthode

1
On reconnaît dans la somme un schéma $x^k/k!$ éventuellement modifié (décalage d'indice, facteur $k$ , $k(k-1)$ ...).
2
On effectue les manipulations d'indice nécessaires : décalage $k\to k-1$ , $k/k!=1/(k-1)!$ , etc.
3
On applique $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k!=e^x$ en identifiant la valeur de $x$ .
4
On recompose la somme demandée et on conclut.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2^k}{k!}$ .

Étape 1 —

On reconnaît dans la somme un schéma

x^k/k!

éventuellement modifié (décalage d'indice, facteur

k

,

k(k-1)

...).

Forme $x^k/k!$ avec $x=2$ .

Étape 2 —

On effectue les manipulations d'indice nécessaires : décalage

k\to k-1

,

k/k!=1/(k-1)!

, etc.

Aucune manipulation nécessaire.

Étape 3 —

On applique

\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k!=e^x

en identifiant la valeur de

x

.

$S=e^2$ .

Étape 4 —

On recompose la somme demandée et on conclut.

Donc $S=e^2$ .

$S=e^2$

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Comment utiliser la série exponentielle ∑xk/k!\sum x^k/k!∑xk/k! ?

En appliquant ∑k=0+∞xk/k!=ex\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x∑k=0+∞​xk/k!=ex

Pour comprendre, fais des exercices !

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En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$