Comment étudier la nature d'une… : En montrant u_nsim v_n (tous deux… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment étudier la nature d'une série à termes positifs via un équivalent ?

En montrant $u_n\sim v_n$ (tous deux positifs) pour conclure sur la même nature

Conclure sur la nature de $\sum u_n$ à termes positifs à l'aide d'un équivalent simple $v_n$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{n+1}{n^3+2}$ .

L'objectif

Conclure sur la nature de $\sum u_n$ à termes positifs à l'aide d'un équivalent simple $v_n$ .

Le principe

Si $u_n\geq 0$ , $v_n\geq 0$ à partir d'un certain rang et $u_n\sim v_n$ , alors $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.

La méthode

1
On vérifie que $(u_n)$ est à termes positifs (au moins à partir d'un certain rang).
2
On détermine un équivalent simple $v_n$ de $u_n$ , lui aussi positif, en ne gardant que le terme dominant.
3
On reconnaît la nature de $\sum v_n$ (souvent Riemann ou géométrique).
4
On conclut : comme $u_n\sim v_n$ avec $u_n,v_n\geq 0$ , les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{n+1}{n^3+2}$ .

Étape 1 —

On vérifie que

(u_n)

est à termes positifs (au moins à partir d'un certain rang).

Pour $n\geq 1$ , $u_n=\dfrac{n+1}{n^3+2}>0$ .

Étape 2 —

On détermine un équivalent simple

v_n

u_n

, lui aussi positif, en ne gardant que le terme dominant.

$u_n=\dfrac{n(1+1/n)}{n^3(1+2/n^3)}\sim \dfrac{n}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}$ avec $v_n=1/n^2>0$ .

Étape 3 —

On reconnaît la nature de

\sum v_n

(souvent Riemann ou géométrique).

La série de Riemann $\sum 1/n^2$ converge ( $\alpha=2>1$ ).

Étape 4 —

On conclut : comme

u_n\sim v_n

avec

u_n,v_n\geq 0

, les séries

\sum u_n

\sum v_n

ont la même nature.

Par équivalence sur séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.

$\sum_{n\geq 1} \dfrac{n+1}{n^3+2}$ converge.

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Comment étudier la nature d'une série à termes positifs via un équivalent ?

En montrant un∼vnu_n\sim v_nun​∼vn​ (tous deux positifs) pour conclure sur la même nature

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $u_n\sim v_n$ (tous deux positifs) pour conclure sur la même nature