Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ?

En montrant la convergence de $\sum|u_n|$

Démontrer la convergence d'une série quelconque (signe variable) en prouvant celle de la série des valeurs absolues.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série quelconque (signe variable) en prouvant celle de la série des valeurs absolues.

Le principe

Résultat admis : toute série absolument convergente est convergente. On étudie donc $\sum |u_n|$ (à termes positifs) avec les outils usuels.

La méthode

1
On pose $|u_n|$ et on remarque que $\sum|u_n|$ est à termes positifs.
2
On étudie la nature de $\sum|u_n|$ par comparaison, équivalent ou négligeabilité.
3
Si $\sum|u_n|$ converge, on conclut par le théorème (admis) : la convergence absolue entraîne la convergence, donc $\sum u_n$ converge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ .

Étape 1 —

On pose

|u_n|

et on remarque que

\sum|u_n|

est à termes positifs.

$|u_n|=\dfrac{1}{n^2}\geq 0$ , $\sum|u_n|$ est à termes positifs.

Étape 2 —

On étudie la nature de

\sum|u_n|

par comparaison, équivalent ou négligeabilité.

$\sum 1/n^2$ est la série de Riemann d'exposant $\alpha=2>1$ , elle converge.

Étape 3 —

Si

\sum|u_n|

converge, on conclut par le théorème (admis) : la convergence absolue entraîne la convergence, donc

\sum u_n

converge.

La série $\sum (-1)^n/n^2$ est donc absolument convergente, donc convergente.

$\sum_{n\geq 1} (-1)^n/n^2$ converge (absolument).

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Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ?

En montrant la convergence de ∑∣un∣\sum|u_n|∑∣un​∣

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la convergence de $\sum|u_n|$