Comment montrer qu'une matrice… : En exhibant une matrice B telle que… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

En exhibant une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ )

Démontrer que $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible en produisant explicitement son inverse.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est inversible.

L'objectif

Démontrer que $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible en produisant explicitement son inverse.

Le principe

Pour une matrice carrée, le B.O. admet qu'un inverse à gauche ou à droite est l'inverse : il suffit donc de trouver $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que $AB=I_n$ ou $BA=I_n$ .

La méthode

1
Je cherche une relation polynomiale sur $A$ (par exemple $A^2-A-I_n=0$ ) ou je pose un candidat $B$ naturel.
2
Je transforme la relation pour isoler $I_n$ : $A\cdot P(A)=I_n$ fournit $B=P(A)$ .
3
Je vérifie soigneusement le calcul $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ ).
4
Je conclus : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est inversible.

Étape 1 —

Je cherche une relation polynomiale sur

A

(par exemple

A^2-A-I_n=0

) ou je pose un candidat

B

naturel.

Je remarque que $A=I_2+N$ avec $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $N^2=0$ .

Étape 2 —

Je transforme la relation pour isoler

I_n

A\cdot P(A)=I_n

fournit

B=P(A)

Par télescopage : $(I_2+N)(I_2-N)=I_2-N^2=I_2$ , donc le candidat est $B=I_2-N$ .

Étape 3 —

Je vérifie soigneusement le calcul

AB=I_n

(ou

BA=I_n

Vérification : $AB=(I_2+N)(I_2-N)=I_2$ .

Étape 4 —

Je conclus :

A

est inversible et

A^{-1}=B

$A$ est donc inversible et $A^{-1}=I_2-N=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ .

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Comment montrer qu'une matrice est inversible ?

En exhibant une matrice BBB telle que AB=InAB=I_nAB=In​ (ou BA=InBA=I_nBA=In​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ )