Comment approcher une racine de… : En bissectant itérativement [a_n,b_n]… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment approcher une racine de $f(x)=0$ par dichotomie ?

En bissectant itérativement $[a_n,b_n]$ en conservant le changement de signe

Approcher numériquement une racine de l'équation $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a, b]$ avec précision contrôlée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ .

L'objectif

Approcher numériquement une racine de l'équation $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a, b]$ avec précision contrôlée.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$ , alors le TVI assure l'existence d'une racine $c \in [a, b]$ ; en évaluant $f$ au milieu $m = \frac{a + b}{2}$ , on conserve la moitié où $f$ change de signe, obtenant une suite $(a_n, b_n)$ avec $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a) \cdot f(b) < 0$ , ce qui assure par le TVI l'existence d'une racine dans $[a, b]$ ; je pose $a_0 = a$ , $b_0 = b$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
À l'étape $n$ , je calcule $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ ; si $f(a_n) \cdot f(m_n) \leq 0$ je pose $a_{n+1} = a_n$ , $b_{n+1} = m_n$ , sinon $a_{n+1} = m_n$ , $b_{n+1} = b_n$ .
3
J'itère jusqu'à ce que $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon$ ; je prends alors $m_n$ comme approximation de la racine avec erreur $\leq \varepsilon$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a, b]

et que

f(a) \cdot f(b) < 0

, ce qui assure par le TVI l'existence d'une racine dans

[a, b]

; je pose

a_0 = a

b_0 = b

$f$ est polynomiale donc continue sur $[0, 1]$ ; $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc par le TVI une racine $c \in [0, 1]$ existe. On pose $a_0 = 0$ , $b_0 = 1$ .

Étape 2 —

À l'étape

n

, je calcule

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}

; si

f(a_n) \cdot f(m_n) \leq 0

je pose

a_{n+1} = a_n

b_{n+1} = m_n

, sinon

a_{n+1} = m_n

b_{n+1} = b_n

Itérations : $m_0 = 0{,}5$ , $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ donc $[0{,}5 ; 1]$ ; $m_1 = 0{,}75$ , $f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0$ donc $[0{,}5 ; 0{,}75]$ ; $m_2 = 0{,}625$ , $f(0{,}625) \approx -0{,}131 < 0$ donc $[0{,}625 ; 0{,}75]$ ; $m_3 = 0{,}6875$ , $f \approx 0{,}012 > 0$ donc $[0{,}625 ; 0{,}6875]$ .

Étape 3 —

J'itère jusqu'à ce que

b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon

; je prends alors

m_n

comme approximation de la racine avec erreur

\leq \varepsilon

Longueur $\frac{1}{16} = 0{,}0625 \leq 0{,}1$ : on prend $m_3 \approx 0{,}6875$ comme approximation (la racine exacte est $\approx 0{,}6824$ ).

$c \approx 0{,}6875$ à $10^{-1}$ près.

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