Comment montrer qu'une famille… : En montrant que tout vecteur de E… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille est génératrice ?

En montrant que tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ .

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $(v_1, v_2) = ((1, 1), (1, -1))$ est génératrice de $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ .

Le principe

La famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ si et seulement si $\forall x \in E, \exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ .

La méthode

1
Je prends $x \in E$ générique et j'écris ses coordonnées dans une base de référence.
Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?Voir
2
J'écris l'équation $x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$ sous forme d'un système linéaire en les inconnues $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ .
3
Je résous ce système et je vérifie qu'il admet au moins une solution, quel que soit $x \in E$ .
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $(v_1, v_2) = ((1, 1), (1, -1))$ est génératrice de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je prends

x \in E

générique et j'écris ses coordonnées dans une base de référence.

Soit $x = (a, b) \in \mathbb{R}^2$ quelconque.

Étape 2 —

J'écris l'équation

x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n

sous forme d'un système linéaire en les inconnues

\lambda_1, \ldots, \lambda_n

On cherche $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda_1 + \lambda_2 = a$ et $\lambda_1 - \lambda_2 = b$ .

Étape 3 —

Je résous ce système et je vérifie qu'il admet au moins une solution, quel que soit

x \in E

La somme donne $\lambda_1 = \dfrac{a + b}{2}$ et la différence $\lambda_2 = \dfrac{a - b}{2}$ : le système a bien une solution (unique d'ailleurs).

Étape 4 —

Je conclus que

(v_1, \ldots, v_n)

est génératrice de

E

Donc $(v_1, v_2)$ est génératrice de $\mathbb{R}^2$ .

La famille est génératrice de $\mathbb{R}^2$ .

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