Comment montrer qu'une famille… : En prouvant que la famille est libre et… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une famille est une base ?

En prouvant que la famille est libre et génératrice

Montrer qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $(v_1, v_2) = ((1, 1), (1, -1))$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Montrer qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base de $E$ si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice de $E$ ; cela équivaut à l'existence et l'unicité d'une écriture $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ pour tout $x \in E$ .

La méthode

1
Je vérifie que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une famille de vecteurs de $E$ .
2
Je montre qu'elle est libre : $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$ .
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
Je montre qu'elle est génératrice de $E$ : pour tout $x \in E$ , il existe des $\lambda_i$ tels que $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base de $E$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $(v_1, v_2) = ((1, 1), (1, -1))$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que la famille

(v_1, \ldots, v_n)

est une famille de vecteurs de

E

$v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$ et la famille est de cardinal $2$ .

Étape 2 —

Je montre qu'elle est libre :

\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0

Si $\lambda_1 (1, 1) + \lambda_2 (1, -1) = (0, 0)$ , alors $\lambda_1 + \lambda_2 = 0$ et $\lambda_1 - \lambda_2 = 0$ , d'où $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ : la famille est libre.

Étape 3 —

Je montre qu'elle est génératrice de

E

: pour tout

x \in E

, il existe des

\lambda_i

tels que

x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i

Pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ , $(a, b) = \dfrac{a+b}{2} (1, 1) + \dfrac{a-b}{2} (1, -1)$ : la famille est génératrice de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 4 —

Je conclus que

(v_1, \ldots, v_n)

est une base de

E

Donc $(v_1, v_2)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

$(v_1, v_2)$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

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