Comment montrer une inclusion… : En prenant x ∈ A quelconque et en… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer une inclusion d'ensembles ?

En prenant $x \in A$ quelconque et en montrant $x \in B$

Prouver qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 1\}$ et $B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 1\}$ . Montrer que $A \subset B$ .

L'objectif

Prouver qu'un ensemble $A$ est inclus dans un ensemble $B$ .

Le principe

Par définition, $A \subset B$ signifie $\forall x,\ x \in A \Rightarrow x \in B$ ; on fixe un élément générique de $A$ et on établit qu'il appartient à $B$ .

La méthode

1
Je fixe un élément $x \in A$ quelconque.
2
J'exploite la caractérisation ou la définition de $A$ pour traduire $x \in A$ en propriétés exploitables.
3
Par des équivalences ou des implications, j'établis que $x$ vérifie la caractérisation de $B$ , donc $x \in B$ .
4
Je conclus par $\forall x \in A,\ x \in B$ , ce qui équivaut à $A \subset B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 1\}$ et $B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 1\}$ . Montrer que $A \subset B$ .

Étape 1 —

Je fixe un élément

x \in A

quelconque.

Soit $x \in A$ .

Étape 2 —

J'exploite la caractérisation ou la définition de

A

pour traduire

x \in A

en propriétés exploitables.

Par définition de $A$ , $x^2 < 1$ , soit $|x| < 1$ .

Étape 3 —

Par des équivalences ou des implications, j'établis que

x

vérifie la caractérisation de

B

, donc

x \in B

L'inégalité $|x| < 1$ équivaut à $-1 < x < 1$ , donc $x \in B$ .

Étape 4 —

Je conclus par

\forall x \in A,\ x \in B

, ce qui équivaut à

A \subset B

Ainsi, pour tout $x \in A$ , $x \in B$ : $A \subset B$ .

$A \subset B$ .

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Comment montrer une inclusion d'ensembles ?

En prenant x∈Ax \in Ax∈A quelconque et en montrant x∈Bx \in Bx∈B

Pour comprendre, fais des exercices !

En prenant $x \in A$ quelconque et en montrant $x \in B$