Comment appliquer l'inégalité… : En appliquant P(X≥ a)≤ E(X)/a pour X… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer l'inégalité de Markov ?

En appliquant $P(X\geq a)\leq E(X)/a$ pour X positive admettant espérance, et $a>0$

Majorer $P(X\geq a)$ en fonction de l'espérance de $X$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que $E(X)=3$ . Majorer $P(X\geq 12)$ .

L'objectif

Majorer $P(X\geq a)$ en fonction de l'espérance de $X$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire discrète positive admettant une espérance, alors pour tout $a>0$ : $P(X\geq a)\leq \dfrac{E(X)}{a}$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ est une variable aléatoire discrète à valeurs positives (ou presque sûrement positive) et $X$ admet une espérance $E(X)$ finie.
Comment montrer qu'une VAR admet une espérance ?Voir
2
Je fixe le seuil $a>0$ correspondant à la probabilité $P(X\geq a)$ que je souhaite majorer, et je calcule ou j'exprime $E(X)$ .
3
J'applique l'inégalité de Markov : $P(X\geq a)\leq \dfrac{E(X)}{a}$ , puis j'interprète la majoration obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que $E(X)=3$ . Majorer $P(X\geq 12)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

est une variable aléatoire discrète à valeurs positives (ou presque sûrement positive) et

X

admet une espérance

E(X)

finie.

$X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}$ donc positive, et $E(X)=3$ existe : les hypothèses de Markov sont satisfaites.

Étape 2 —

Je fixe le seuil

a>0

correspondant à la probabilité

P(X\geq a)

que je souhaite majorer, et je calcule ou j'exprime

E(X)

Je prends $a=12>0$ et je dispose de $E(X)=3$ .

Étape 3 —

J'applique l'inégalité de Markov :

P(X\geq a)\leq \dfrac{E(X)}{a}

, puis j'interprète la majoration obtenue.

L'inégalité de Markov donne $P(X\geq 12)\leq \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$ .

$P(X\geq 12)\leq \dfrac{1}{4}$ .

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Comment appliquer l'inégalité de Markov ?

En appliquant P(X≥a)≤E(X)/aP(X\geq a)\leq E(X)/aP(X≥a)≤E(X)/a pour X positive admettant espérance, et a>0a>0a>0

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P(X\geq a)\leq E(X)/a$ pour X positive admettant espérance, et $a>0$