L'objectif

Statuer sur la nature d'un point critique d'une fonction $\mathcal{C}^2$ à l'aide du signe de $f''$ en ce point.

Le principe

Si $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0\in I$ vérifie $f'(x_0)=0$ , alors $f''(x_0)>0 \Rightarrow$ minimum local strict, $f''(x_0)<0 \Rightarrow$ maximum local strict ; si $f''(x_0)=0$ on ne peut pas conclure directement (ce résultat se démontre via la formule de Taylor-Young à l'ordre 2).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle ouvert $I$ et que $x_0\in I$ est un point critique : $f'(x_0)=0$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
Je calcule $f''(x_0)$ .
3
Si $f''(x_0)>0$ , je conclus que $f$ admet un minimum local strict en $x_0$ ; si $f''(x_0)<0$ , un maximum local strict ; si $f''(x_0)=0$ , je passe par une étude plus fine (signe de $f'$ autour de $x_0$ ou Taylor-Young à un ordre supérieur).
Comment obtenir un DL par la formule de Taylor-Young ?Voir

Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment appliquer la condition suffisante d'ordre 2 pour un extremum local ?

En étudiant le signe de f′′(x0)f''(x_0)f′′(x0​) au point critique

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le signe de $f''(x_0)$ au point critique