L'objectif

Déterminer le maximum et le minimum globaux d'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ .

Le principe

Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ y atteint ses bornes ; si elle est $\mathcal{C}^1$ sur $]a,b[$ , les extrema sont atteints soit en un point critique intérieur, soit en $a$ , soit en $b$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ et je justifie qu'elle y atteint ses bornes par le théorème des bornes atteintes.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je cherche les points critiques de $f$ sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ en résolvant $f'(x)=0$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Je calcule les valeurs de $f$ aux points critiques intérieurs ainsi qu'aux bornes $a$ et $b$ .
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ ?Voir
4
Je compare ces valeurs pour identifier $\max_{[a,b]} f$ et $\min_{[a,b]} f$ , en précisant en quels points ils sont atteints.

Comment déterminer les extrema globaux d'une fonction continue sur un segment ?

En appliquant le théorème : toute fonction continue sur un segment atteint ses bornes

Pour comprendre, fais des exercices !