Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?

En appliquant $\dim E = \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)$

Calculer $\mathrm{rg}(f)$ ou $\dim(\mathrm{Ker}\,f)$ quand on connaît l'autre, grâce à la formule du rang.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire de noyau $\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

L'objectif

Calculer $\mathrm{rg}(f)$ ou $\dim(\mathrm{Ker}\,f)$ quand on connaît l'autre, grâce à la formule du rang.

Le principe

Si $E$ est de dimension finie et $f\colon E\to F$ est linéaire, alors $\dim E=\dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)$ .

La méthode

1
On vérifie que $E$ est de dimension finie et on note $n=\dim E$ .
2
On détermine celle des deux quantités $\dim(\mathrm{Ker}\,f)$ ou $\mathrm{rg}(f)$ qui est la plus simple à calculer directement.
3
On applique la formule $\dim E=\dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)$ pour obtenir l'autre.
4
On interprète : si $\mathrm{rg}(f)=\dim F$ alors $f$ est surjective ; si $\dim(\mathrm{Ker}\,f)=0$ alors $f$ est injective.
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $f\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ linéaire de noyau $\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1))$ . Calculer $\mathrm{rg}(f)$ .

Étape 1 —

On vérifie que

E

est de dimension finie et on note

n=\dim E

.

$E=\mathbb{R}^4$ est de dimension $n=4$ .

Étape 2 —

On détermine celle des deux quantités

\dim(\mathrm{Ker}\,f)

ou

\mathrm{rg}(f)

qui est la plus simple à calculer directement.

La famille génératrice du noyau donnée est libre (deux vecteurs non colinéaires), donc $\dim(\mathrm{Ker}\,f)=2$ .

Étape 3 —

On applique la formule

\dim E=\dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)

pour obtenir l'autre.

Par la formule du rang : $\mathrm{rg}(f)=\dim E-\dim(\mathrm{Ker}\,f)=4-2=2$ .

Étape 4 —

On interprète : si

\mathrm{rg}(f)=\dim F

alors

f

est surjective ; si

\dim(\mathrm{Ker}\,f)=0

alors

f

est injective.

Comme $\mathrm{rg}(f)=2<3=\dim F$ , $f$ n'est pas surjective.

$\mathrm{rg}(f)=2$ , $f$ non surjective.

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Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?

En appliquant dim⁡E=dim⁡(Ker f)+rg(f)\dim E = \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)dimE=dim(Kerf)+rg(f)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\dim E = \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)$